Formula area del triangolo equilatero

Formule per l'area del triangolo equilatero

Nella seguente tabella elenchiamo tutte le formule dell'area del triangolo equilatero.

Indichiamo con S l'area, con L il lato, con H l'altezza, con 2p il perimetro, con R il luce della circonferenza circoscritta e con r l'apotema (raggio della circonferenza inscritta).

Per tutte le formule del triangolo equilatero, comprese le formule inverse, ti rimandiamo alla lezione del link.

Passiamo a una serie di problemi svolti. Noterai che non è indispensabile ricordare a memoria tutte le formule indicate in tabella. Per calcolare l'area infatti basta conoscere la misura del lato, che si può ricavare da qualsiasi altro dato a nostra disposizione.

Calcolo area triangolo equilatero con il lato

Per calcolare l'area con la misura del lato si deve moltiplicare il quadrato del fianco per la radice quadrata di 3 e dividere il tutto per 4.

S = (√(3))/(4)L^2

Esempio

Calcolare l'area di un triangolo equilatero il cui lato misura 8 centimetri.

S = (√(3))/(4)L^2 = (√(3))/(4)×(8 cm)^2 = (√(3))/(4)×64 cm^2 = 16√(3) cm^2 ≃ 27,7 cm^2

Calcolo online (con il lato)

In evento di misure decimali, il valore va inserito con il segno al luogo della virgola.

L'area è: .

Calcolo area triangolo equilatero con l'altezza

Se si conosce l'altezza, per individuare l'area si deve separare l'altezza elevata al quadrato per la radice di 3.

S = (H^2)/(√(3))

Esempio

L'altezza di un triangolo equilatero misura 18 millimetri. Calcolare l'area.

S = (H^2)/(√(3)) = ((18 mm)^2)/(√(3)) = ( mm^2)/(√(3)) ≃ mm^2

Un altro maniera di superare l'esercizio: osserviamo che l'altezza di un triangolo equilatero è il cateto superiore di un triangolo rettangolo, avente in che modo ipotenusa il lato e come cateto minore la metà del lato.

Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora

H^2 = L^2−((L)/(2))^2 = L^2−(L^2)/(4) = (3)/(4)L^2

e ottenere l'altezza in funzione del lato:

H^2 = (3)/(4)L^2

Invertiamo la precedente rapporto a gentilezza di L, sostituiamo H = 18 mm e calcoliamo l'area applicando la formula con il lato:

L^2 = (4)/(3)H^2 ; L = √((4)/(3)H^2) = (2)/(√(3))H = (2)/(√(3))×18 mm = (36)/(√(3)) mm ; S = (√(3))/(4)L^2 = (√(3))/(4)×((36)/(√(3)) mm)^2 = (√(3))/(4)×()/(3) mm^2 = √(3) mm^2 ≃ mm^2

Calcolo online (con l'altezza)

Come in precedenza, per gli eventuali valori decimali.

L'area è: .

Calcolo area triangolo equilatero con il perimetro

La formula per calcolare l'area di un triangolo equilatero dal perimetro è la seguente.

S = (√(3))/(36)(2p)^2

Esempio

Trovare l'area di un triangolo equilatero sapendo che il suo perimetro misura 90 decimetri.

S = (√(3))/(36)(2p)^2 = (√(3))/(36)×(90 dm)^2 = (√(3))/(36)× dm^2 = √(3) dm^2 ≃ ,7 dm^2

In alternativa possiamo calcolare il lato dal perimetro del triangolo equilatero

2p = 3L ; L = (2p)/(3) = (90 dm)/(3) = 30 dm

e applicare la formula con il lato, giungendo allo identico risultato:

S = (√(3))/(4)×L^2 = (√(3))/(4)×(30 dm)^2 = (√(3))/(4)× dm^2 = √(3) dm^2 ≃ ,7 dm^2

Calcolo online (con il perimetro)

Anche qui, attenzione: i valori decimali vanno inseriti con il segno al luogo della virgola.

L'area è: .

Calcolo area triangolo equilatero con l'apotema

Conoscendo l'apotema del triangolo equilatero si può calcolare l'area moltiplicando l'apotema elevato al quadrato per 3√3.

S = 3√(3)r^2

Esempio

L'apotema di un triangolo equilatero misura 10 centimetri; misura vale la sua area?

S = 3√(3)r^2 = 3√(3)×(10 cm)^2 = 3√(3)× cm^2 = √(3) cm^2 ≃ ,6 cm^2

Un maniera equivalente per svolgere l'esercizio: troviamo la misura del lato da quella dell'apotema

L = 2√(3)r = 2 √(3)×(10 cm) = 20√(3) cm

e, successivamente, calcoliamo l'area moltiplicando la misura del lato per √3/4.

S = (√(3))/(4)L^2 = (√(3))/(4)×(20 √(3) cm)^2 = (√(3))/(4)× cm^2 = √(3) cm ≃ ,6 cm^2

Calcolo online (con l'apotema)

Come sopra, per le eventuali misure decimali.

L'area è: .

Calcolo area triangolo equilatero con il luce della circonferenza circoscritta

Se è noto il raggio della circonferenza circoscritta, si può trovare l'area ricorrendo alla seguente formula:

S = (3√(3))/(4)R^2

Esempio

Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza il cui luce misura 2 metri. Calcolare l'area.

S = (3√(3))/(4)R^2 = (3√(3))/(4)×(2 m)^2 = (3 √(3))/(4)×4 m^2 = 3√(3) m^2 ≃ 5,2 m^2

Un altro metodo per risolvere il problema: l'altezza di un triangolo equilatero è 3/2 del fascio della circonferenza circoscritta.

H = (3)/(2)R = (3)/(2)×2 m = 3 m

Disponendo dell'altezza possiamo risalire alla misura del fianco con il teorema di Pitagora, e calcolare l'area con la solita formula. Lasciamo a te i calcoli. ;)

Calcolo online (con il fascio circoscritto)

Esattamente in che modo per gli altri tool, le misure decimali vanno inserite con il segno e non con la virgola.

L'area è: .

Approfondimenti

Concludiamo con qualche approfondimento: