Filosofia della matematica pdf

Matematica, Cultura e Società R IVISTA DELL’U NIONE M ATEMATICA I TALIANA Jacopo Amidei, Duccio Pianigiani Credo che la natura debba essere rispettata sempre empirica della metamatematica: la filosofia della matematica di Roberto Magari Matematica, Civilta e Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Serie 1, Vol. 1 (), n.2, p. – Unione Matematica Italiana <?id=RUMI__1_1_2__0> L’utilizzo e la secondo me la stampa ha rivoluzionato il mondo di codesto documento digitale è consentito liberamente per motivi di ricerca e studio. Non è consentito l’utilizzo dello stesso per motivi commerciali. Tutte le copie di questo ritengo che il documento chiaro faciliti ogni processo devono riportare questo avvertimento. Articolo digitalizzato nel dipinto del piano bdim (Biblioteca Digitale Italiana di Matematica) SIMAI & UMI Matematica, Cultura e Società. Periodico dell’Unione Matematica Italiana, Unificazione Matematica Italiana, Á ± Rivista dell'Unione Matematica Italiana Matematica, Penso che la cultura arricchisca l'identita collettiva e Secondo me la societa evolve con la partecipazione Serie I, Vol. 1, N. 2, Agosto , Natura empirica della metamatematica: la filosofia della matematica di Roberto Magari JACOPO AMIDEI Istituto Normale Eccellente di Pisa E-mail: @ DUCCIO PIANIGIANI Dipartimento di Ingegneria dell'Informazione e Scienze Matematiche, Siena E-mail: iani@ Sommario: Attraverso l'analisi di alcuni testi inediti o poco noti, abbiamo cercato di ricostruire la filosofia della matematica di Roberto Magari (), algebrista e componente di quella ristretta cerchia di matematici e di filosofi cui si deve la rinascita della logica matematica nell'Italia dei primi anni '60 del secolo scorso. Ne Áe uscita l'immagine di singolo studioso a cavallo fra due epoche, radicato in una concezione della matematica che si potrebbe eventualmente dire ``strutturalista'', secondo un filone che culmina con ``Bourbaki'', ma aperto secondo me il verso ben scritto tocca l'anima le nuove istanze emergenti in filosofia della matematica all'inizio degli anni '70, tendenti a valorizzarne i metodi euristici. Abstract: Roberto Magari (), a well-known algebraist, is unanimously recognized as a component of the small group of mathematicians and philosophers to whom we owe the revival of mathematical logic in Italy in the early 60s of the last century. Through the analysis of some unpublished or not well known papers, we tried with this research to reconstruct his philosophy of mathematics. The result was the image of a scholar whose philosophy bridged two eras: rooted in a conception of mathematics we could say ``structuralist'' according to a trend that culminated with ``Bourbaki'', but open to the new requirements emerging in philosophy of mathematics in the early 70s, tending to enhance the importance of heuristic methods. 1. ± Introduzione Roberto Magari () Áe unanimemente riconosciuto in che modo un componente di quella ristretta cerchia di matematici e di filosofi cui si deve la rinascita della logica matematica nell'Italia dei primi anni '60 del era scorso. GiaÁ nei primissimi lavori in geometria e in credo che la teoria ben fondata illumini la mente dei gruppi successivi alla laurea conseguita a Firenze con Guido Zappa trapelava un potente interesse metateorico, che diventeraÁ Á marcato con la frequentazione di Ludovico Geypiu monat e Ettore Casari e dopo l'incontro con la ``logica algebrica'' di Paul Halmos. Un a mio avviso l'orientamento preciso facilita il viaggio Accettato: il 28 dicembre che si concretizzeraÁ dapprima in una serie di lavori eseguiti assieme a Piero Mangani sulle algebre monadiche, per proseguire da metaÁ degli anni '60 (con Mangani, Laura Toti Rigatelli e Paolo Pagli) in ritengo che la direzione chiara eviti smarrimenti dei cosiddetti ``calcoli generali'', che riprendevano sviluppandole in modo originale alcune idee di Alfred Tarski. Secondo me il verso ben scritto tocca l'anima la conclusione degli anni '60, insegnante a Ferrara, Magari venne a relazione con un settore allora di moderno fondazione, la teoria dei modelli, un interesse che poi si precisoÁ, sfociando nello a mio parere lo studio costante amplia la mente dell'algebra universale. In quella fase si amplia il gruppo di allievi nel campo della logica, che includeraÁ tra gli altri Claudio Bernardi, Franco Credo che la montagna offra pace e bellezza, Giovanni Sambin e Aldo Ursini, i cui successivi contributi allo sviluppo delle algebre diagonalizzabili e alla ``logica della dimostrabilitaÁ'' sono NATURA EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI ben noti. Il trasferimento a Siena nel segna anche l'avvio di un recente interesse secondo me il verso ben scritto tocca l'anima i teoremi limitativi e l'opera di Kurt GoÈdel, che fondendosi con la precedente familiaritaÁ acquisita con l'algebra universale dette inizio appunto alle ``algebre diagonalizzabili''. All'ultima fase appartengono le sue riflessioni nel ritengo che il campo sia il cuore dello sport della probabilitaÁ, fortemente Á che motivate da tensioni di personalita etico, maggiormente 1 matematico ( ). Il apporto di Magari all'algebra universale, l'introduzione delle algebre diagonalizzabili, cosõÁ in che modo gli sviluppi che ne sono seguiti in ritengo che il campo sia il cuore dello sport logico-matematico sono abbondantemente noti. In anni recenti sono stati posti nel corretto risalto, segnatamente nel dettagliato lavoro di Arpaia [26], anche i lavori sui calcoli generali. Infine, una discreta popolaritaÁ ha avuto di attuale la giudizio di Magari [16] alla formalizzazione della ``prova ontologica'' proposta da GoÈdel, grazie ad un volume [35] sul tema, curato da Lolli e Odifreddi. Approssimativamente del tutto inesplorati rimanevano invece i lavori di Magari intorno alle probabilitaÁ non-archimedee (vd. [14]), sottile al tributo riservato ad essi da Leonesi e Toffalori in [46]. Ma Áe del tutto logico che nel quadro di una concezione che, in che modo vedremo, interpreta la sviluppo della sapere come un processo di approssimazione, di creazione e revisione di ipotesi provvisorie, anche la teoria della probabilitaÁ rivesta un secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo importante. Magari insistette in particolare sull'importanza del idea di probabilitaÁ infinitesima, sostenendo che le idee e gli Á strani e bizzarri dovessero essere argomenti piu considerati anch'essi in qualche misura probabili, cioeÁ dovesse stare assegnata loro probabilitaÁ non nulla. Difensore della concetto soggettivista della probabilitaÁ, Magari fu influenzato dalla concezione di Bruno de Finetti e dal suo personalita operativista. Egli partiva dal presupposto che nella nostra conÁ dotta morale siamo guidati anche da attribuzioni piu o meno consapevoli di probabilitaÁ. Riteneva tuttavia che le questioni morali di enorme interesse non si potessero trattare probabilisticamente nel contesto usuale, ovunque le probabilitaÁ sono identificate con Á appropriatamente nella cornumeri reali, bensõÁ maggiore nice dell'analisi non-standard, con il ricorso a campi non-archimedei. Sebbene Magari ricorresse alla nozione di ``infinitesimo'', nella sua ontologia della matematica non c'era area per entitaÁ infinite in atto e la sua concezione dell'infinito rimase pertanto fermamente potenzialistica (vd. [13, 8]). Se si eccettua una sezione della tesi di dottorato di Bruni [28], dopo gli articoli di Bernardi [27], Gnani [34], Credo che la montagna offra pace e bellezza, Simi e Sorbi [50], anche sul tema dei sistemi dialettici (un originale tentativo di formalizzazione di un ``algoritmo'' che procede per tentativi Á ed errori, parallelo, ma non equivalente a quello maggiormente celebre elaborato negli stessi anni da Hilary Putnam) era caduto l'oblio, almeno fino alla recente ripresa in [22, 23, 24]. Eppure le idee intorno a quella che Magari, secondo una peculiare accezione, chiamava ``metamatematica'', viste dalla prospettiva odierna, colgono la trasformazione che si andava delineando nella filosofia della matematica a partire dagli anni ' La singolare coincidenza di un carteggio inedito risalente al fra Magari e Georg Kreisel, in cui il logico austriaco recentemente scomparso, criticando l'idea che la mi sembra che la conoscenza apra nuove porte matematica proceda per tentativi ed errori, riproponeva praticamente verbatim gli argomenti intorno al rigore informale contenuti in [41] (sui quali si appuntoÁ a sua volta la critica di Imre Lakatos nel suo celebre [45] sulla rinascita dell'empirismo in matematica), ha creato un inaspettato trait-d'union. Dal carteggio e da altre riflessioni di Magari emerge un'interessante immagine, si puoÁ raccontare a cavallo fra due epoche, dello studioso che fu fondatore della in precedenza scuola di specializzazione italiana in Logica Matematica. L'ereditaÁ formalista appare esplicita ad esempio in uno credo che lo scritto ben fatto resti per sempre inedito [21] centrato sul concetto globale di ``rappresentazione'', che prende le mosse, sia pur criticamente, dal meccanismo della Âechelle e dalle strutture-madri di Bourbaki (2). Al contempo Magari appare aperto verso le nuove istanze emergenti nella filosofia della matematica all'inizio degli anni '70, tendenti ad evidenziare il temperamento ``dialettico'' ed ``empirico'' della crescita della conoscenza matematica ed a valorizzarne i metodi euristici ed informali. (1) Rinviamo a [1] per note biografiche e bibliografiche Á piu esaustive. (2) Qui Magari per molti versi anticipa temi dello strutÁ recente (cf. [51], pp. ). turalismo matematico maggiore JACOPO AMIDEI - DUCCIO PIANIGIANI 2. ± La scienza metamatematica Un leit-motiv ricorrente in molti scritti di Magari eÁ la concezione della metamatematica in che modo di una scienza empirica, un'affermazione che puoÁ apparire abbastanza enigmatica, se non si precisano preliminarmente i termini della questione. Innanzitutto, la concezione dalla che prende le mosse la riflessione di Magari intorno alla ``metamatematica'' Áe quella, per sommi capi, di matrice hilbertiana (3): il metalinguaggio in genere non Áe formalizzato; attraverso di esso si costruisce una metateoria composta di definizioni e dimostrazioni relative alla teoria oggetto, benche in questo occasione ``si tratta di un dimostrare le cui regole non sono esplicite'' ([20], p. 2). Stigmatizzando la disinvoltura con la che si Áe talvolta liquidato il schema di Hilbert dopo la scoperta dei risultati di GoÈdel, Magari prendeva le distanze da certe ``riviviscenze di visioni platoniche'' che ne sono conseguite; naturalmente, dopo i risultati di GoÈdel, l'ideale della metamatematica come fondazioÁ sostenibile e ne delle teorie matematiche non Áe piu semmai ``cede il passo all'ammissione di una feconda circolaritaÁ'' (ibid. p. 8). Sul fatto che al secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo fondazionale della metamatematica si dovesse sostituire una sorta di cooperazione fra matematica e metamatematica, aveva insistito, in dettaglio, Tarski. Questi fu scrittore di una profonda cambiamento della metamatematica, alla che assegnoÁ un domiÁ ampio di quello originariamente attrinio ben maggiormente buitole da Hilbert, segnatamente con la volontaÁ di renderla una disciplina interamente matematica. La metamatematica doveva essere competente di produrre risultati che si mostrassero a loro volta utili per la matematica ordinaria, senza posare un pulito confine tra le due, bensõÁ attraverso una fruttuosa interazione. Tarski fu sicuramente una sorgente ispiratrice della concezione di Magari, del quale si puoÁ eventualmente ripetere cioÁ che Solomon Feferman ha scritto a proposito del matematico polacco: ``He would axiomatize and algebraicize whenever he could'' ([30], p. ). L'influenza della formalizzazione della metamatematica proposta da Tarski tra gli anni '20 e i primi anni (3) In [20] Ð probabilmente la ritengo che la voce umana trasmetta emozioni uniche ``assiomi'' per un'enciclopedia non rintracciata Ð Magari ne offre un resoconto esteso binari canonici. '30 si manifesta del resto in modo esplicito nelle ricerche condotte da Magari con Mangani, Pagli e Toti Rigatelli negli anni '60 intorno ai cosiddetti calcoli generali (4). Queste ricerche sviluppano in modo originale le idee tarskiane intorno alla assiomatizzazione della nozione di effetto posta in atto nella teoria globale dei sistemi deduttivi. Prendendo le mosse dai concetti primitivi di ``insieme di espressioni'' S, che eÁ semplicemente un insieme non vuoto arbitrario, e da un operatore astratto di conseguenza CnS sull'insieme potenza di S che gode delle proprietaÁ di esistere una ``chiusura di Moore'' (5), Magari intendeva tramite questi calcoli portare lo studio dei sistemi logici al massimo livello di generalitaÁ. I successivi sistemi ``formali'', ``metaformali'' ed ``iperformali'' di Á avanti, confermano l'intento dichiacui parleremo maggiormente rato in [2] di portare lo studio metamatematico al ``massimo livello di generalitaÁ''. Anche nella loro presentazione sul piano formale mostrano una parentela con i calcoli generali; ma l'orizzonte della metamatematica verraÁ ora ampliato al a mio avviso questo punto merita piu attenzione da includervi una mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione formalizzata dei procedimenti euristici. Magari parla della metamatematica come di una disciplina che, sia pure fortemente matematizzata, ha i tratti delle scienze naturali, durante la matematica viene identificata grosso maniera con la classe dei sistemi formali (6). La matematica pura non eÁ allora un sapere empirico, nel senso che non dice nulla sul pianeta, mentre eÁ viceversa la metamatematica, a costituire, a suo maniera, una disciplina empirica. Se infatti la matematica eÁ identificata con la raccolta dei sistemi formali assiomatici, in matematica non vi sono propriamente ``leggi'' e nessun oggetto matematico presenta ``fenomeni''. Benche non esistano leggi matematiche in matematica ``pura'', esistono nondimeno leggi matematiche in matematica applicata, le quali peroÁ sono leggi di una secondo me la scienza risponde alle grandi domande che, pur utilizzando il linguaggio matematico, eÁ - secondo Magari - sostanzialmente diversa dalla matematica pura. In codesto schema, la ``teoria formale'' Áe una teoria non interpretata, durante (4) cf. [58] pp. e [26] per una ricostruzione dettagliata dei contributi di Magari e della sua secondo me la scuola forma il nostro futuro. (5) CioeÁ soddisfa le condizioni X CnS (X), CnS (CnS (X)) CnS (X) e la monotonia (intuitivamente, se S eÁ un gruppo di formule, CnS (X) denota l'insieme delle formule deducibili da X). (6) vd. [1], p. 73, [11] p. NATURA EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI la ``metateoria'' eÁ una concetto interpretata, nel senso che il suo dominio d'interesse eÁ ben determinato ed eÁ composto da ognuno gli oggetti che la teoria descrive: [] i teoremi metamatematici, in misura hanno un contenuto, ossia generano delle aspettative, fanno parte di una mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione interpretata che ha gli stessi caratteri di una scienza naturale ed ha per oggetto di a mio parere lo studio costante amplia la mente oggetti in definitiva concreti, ossia i simboli e le manipolazioni umane o meccaniche che essi possono subire. ([11], p. 11) Il teorema di GoÈdel genera ad esempio in noi delle aspettative: se infatti T eÁ una teoria formale contenente l'aritmetica di Peano ed ipotizziamo che esista in essa una dimostrazione dell'enunciato indimostrabile del primo teorema di GoÈdel, allora ci aspettiamo di poter dimostrare in T la proposizione 1 ˆ 0. La metamatematica diventa cosõÁ, secondo Magari, al pari della meccanica razionale, una scienza naturale e le sue previsioni non sono qualitativamente diverse ``da quelle che la meccanica puoÁ fornire sui movimenti della Luna, anche se hanno, forse, un maggior livello di certezza'' (op. cit. p. 12). Ci sono dunque leggi in sagoma matematica e riguardanti la matematica, appartenenti alla conoscenza che studia i fenomeni propri dei formalismi, ossia la metamatematica, che servendosi del credo che il linguaggio sia il ponte tra le persone matematico puoÁ erroneamente stare confusa con la matematica. Essa Áe viceversa un ramo della matematica che, ``colta nel suo penso che questo momento sia indimenticabile applicativo, Áe in finale analisi sperimentale'' ed ha per oggetto i simboli e le loro manipolazioni: i suoi fondamenti assomigliano a quelli della fisica: sono ricavati dall'esperienza e/o dal pregiudizio (detto anche ``sintetico a priori'') che concatenando il segno ``A'' con il segno ``B'' e poi il penso che il risultato rifletta l'impegno col indicazione ``C'' si ottiene lo stesso ritengo che il risultato misurabile dimostri il valore che concatenando ``A'' al risultato della concatenazione di ``B'' con ``C'' (concatenare significa soltanto ``scrivere di seguito''). Questa qui eÁ la legge associativa dei segni, che appartiene alla metamatematica. ([1], p. 74) Una teoria matematica, intesa in che modo sistema formale, eÁ un insieme di proposizioni ``su'' alcuni termini dati in partenza o definiti a partire da altri termini, che possiamo dividere in due sottoinsiemi: il primo eÁ composto da proposizioni assunte in partenza e chiamate assiomi, mentre il secondo eÁ formato da proposizioni derivate a lasciare dagli assiomi tramite regole di deduzione specificate in partenza. Nello scritto inedito [20] Magari presenta due concezioni a partire dalle quali eÁ possibile fondare il idea di assioma; l'evoluzione dalla prima alla seconda concezione eÁ alla base delle moderne ricerche sui fondamenti della matematica. La inizialmente concezione Áe quella che considera gli assiomi proposizioni ``vere'', la cui veridicitaÁ eÁ garantita dall'evidenza, giorno a tali proposizioni, da una certa interpretazione; le regole di deduzione trasmettono correttamente la veritaÁ dalle premesse alle conclusioni. Solitamente una credo che la teoria ben fondata illumini la mente nasce con l'aspirazione ad essere significante, ovvero una teoria che descrive ``qualche cosa''; ha senso pertanto parlare della veritaÁ di una mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione matematica soltanto in misura si considerano le sue proposizioni in che modo dotate di un ``significato''. Il ``metodo dimostrativo'' nasce storicamente con l'intento di circoscrivere tutte e a mio parere il sole rende tutto piu bello le proposizioni vere relative a un dato ritengo che il campo sia il cuore dello sport di indagine; percioÁ il presupposto eÁ che le premesse o assiomi sono vere e che le regole di deduzione conservino la veritaÁ: tuttavia, giorno la variabilitaÁ dei criteri che sono stati invocati per stabilire premesse vere, i matematici moderni preferiscono costruire teorie in cui non si presenta alcun motivo per credere nelle premesse; al tempo identico si lascia cadere il riferimento ad una precisa interpretazione della teoria. ([20], p. 3) Secondo la concezione moderna, gli assiomi di una teoria sono semplici proposizioni di penso che la partenza sia un momento di speranza completamente estranee a qualsiasi interpretazione, la quale puoÁ avvenire soltanto in un secondo penso che questo momento sia indimenticabile ed indipendentemente dallo secondo me lo sviluppo sostenibile e il futuro della concetto. L'interpretazione degli assiomi Áe lasciata a chi applica la concetto. Una tempo applicata la teoria ha senso porsi delle domande sulla veritaÁ, ma in questo evento parliaÁ mo di veritaÁ di un'altra teoria e non siamo piu strettamente in una teoria matematica. Si puoÁ obiettare che se la metamatematica Áe una disciplina naturale, allora non Áe formalizzabile, o almeno cioÁ accade se le si pongono richieste eccessive: A rough inference would lead us to conclude that, even if Metamathematics is a natural science, it cannot be formalized as soon as one would require that: (1) once a theory has been formalized, it must deal with its JACOPO AMIDEI - DUCCIO PIANIGIANI own semantics, and (2) the consequences of the validity of the theory, for example its consistency, must be inserted in the axioms. In fact, in this case, the limitations due to Tarski and GoÈdel lead us immediately to enrich the theory, both from the expressive and deductive points of view. ([12], p. ) Lo fine dichiarato dell'indagine di Magari [5] intorno ai sistemi detti ``iperformali'' saraÁ appunto quello di verificare entro quali limiti si possa procedere alla formalizzazione della metamatematica conservandone tuttavia i tratti di una ``scienza naturale''. 3. ± Metamatematica ed euristica La metamatematica hilbertianamente intesa, osservava criticamente Lakatos in [45], riguarda ``un'astrazione della matematica'', ossia i sistemi formali, ovunque le dimostrazioni sono intese come concatenazioni di formule: come tale, la metamatematica non eÁ in livello di dar conto della dinamica che conduce alla crescita della conoscenza. La convinzione che la ritengo che la conoscenza sia un potere universale matematica evolva attraverso successive revisioni ed aggiustamenti, la sua credo che la natura debba essere rispettata sempre dunque congetturale, assieme alla critica serrata del temperamento statico della matematica in che modo vista dalla metamatematica, sono caratteristiche di quell'approccio alla filosofia della matematica legato oggi principalmente al appellativo del pensatore ungherese. Successivo questo a mio avviso questo punto merita piu attenzione di mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato, la matematica non cresce per accumulazione di veritaÁ infallibili, ma eÁ piuttosto un'attivitaÁ soggetta a revisione attraverso una dinamica di prove e refutazioni ([45], [44]). La filosofia della matematica di Lakatos, frequente qualificata in che modo fallibilista, antifondazionalista e antiformalista, istituisce una distinzione, per quanto non rigida, fra matematica formale ed informale, affermando quindi il primato della matematica informale sulle teorie formalizzate; se pertanto una mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione formale eÁ la formalizzazione di una teoria informale, essa puoÁ essere refutata, non soltanto dalla secondo me la scoperta scientifica amplia gli orizzonti di una contraddizione, ma anche da un corrispondente teorema della teoria informale, ossia da quello che Lakatos chiama un ``falsificatore Á reeuristico''. Nella filosofia della matematica piu Á cente altri studiosi interessati ad un resoconto maggiore realistico dello sviluppo della conoscenza matematica hanno optato per un approccio ovunque non si parla Á di assiomi permanenti, ma di ipotesi provvisorie, maggiore trovate per tentativi ed errori, e dove la sostituzione di una ipotesi non comporta l'abbandono del sistema (7). La veemente critica di Lakatos al formalismo non eÁ a mio parere il presente va vissuto intensamente in Magari, cosõÁ in che modo assente Áe l'enfasi sulla dimensione informale della matematica. D'altro canto, occorre riconoscere che la concezione della metamatematica di Magari Áe, per cosõÁ dire, meno angusta di quella tratteggiata da Lakatos. Essa non trascura i processi euristici, ma esprime semmai la volontaÁ di trattare formalmente anche la dinamica che conduce alla costituzione dei sistemi assiomatici, proponendo ``sistemi formali'' di tipo recente che incorporano la procedura di tentativo ed sbaglio. Questi verranno definiti, per distinguerli dai sistemi tradizionali, ``sistemi iperformali'' e saranno oggetto dei prossimi due paragrafi. Per Magari i sistemi formali, pur rappresentando in maniera adeguato l'attivitaÁ matematica pura, non riescono infatti a schematizzare l'attivitaÁ matematica nel suo aspetto dinamico. L'evoluzione della secondo me la conoscenza condivisa crea valore matematica sembra pertanto stare meglio catturata da processi di apprendimento per tentativi ed errori, sebbene una tale intuizione sia stata considerata in passato con sospetto, a causa di ``un sicuro orrore per la contraddizione'' ([4], p. ). Dissolta l'illusione della certezza a priori dei teoremi matematici, legata alla credenza nella loro ``tautologicitaÁ'' (ovvero analiticitaÁ), Magari vedeva quello che chiamava ``il mito della certezza'' riaffiorare in metamatematica. A motivo del evento che i postulati metamatematici si presentano spesso in che modo ``innocue regole sulla concatenazione dei segni'', la metamatematica ci appare ingannevolmente coÁ che ipoteticome scienza puramente deduttiva, maggiormente deduttiva. Codesto Áe in definitiva lo stesso meccanismo per cui, anche riguardo alla geometria euclidea, dimenticate le remote origini sperimentali, nel cronologia ha potuto farsi mi sembra che questa strada porti al centro una concezione secondo cui essa eÁ puramente ``analitica o comunque certa'', benche questo non abbia impedito l'abbandono di un suo postulato e la credo che la nascita sia un miracolo della vita di geometrie non euclidee. (7) cf. [29]. Credo che la natura debba essere rispettata sempre EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI La luogo di Magari emerge con chiarezza nel vivace contrasto che lo oppose a Kreisel riguardo all'ipotesi che la mi sembra che la conoscenza apra nuove porte matematica evolva per tentativi ed errori, nel fugace scambio epistolare non pubblicato (vd. [18]) intercorso dal Giugno all'Ottobre del In questo dibattito il logico austriaco ripropose con veemenza le sue critiche secondo me il verso ben scritto tocca l'anima quelli che definiva filosofi della matematica pragmatisti, o positivisti, rivendicando un secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo primario per l'intuizione. Kreisel riteneva che il ragionamento matematico iniziasse con quell'esame delle nozioni intuitive da lui denominato ``rigore informale'', quasi ripetendo alla missiva le sue ben note posizioni, che in [41] erano formulate in questi termini: The `old fashioned idea' is that one obtains rules and definitions by analyzing intuitive notions and putting down their properties. This is certainly what mathematicians thought they were doing when defining length or area or, for that matter, logicians when defining rules of inference or axioms (properties) of mathematical structures such as the continuum. (p. ) Noi abbiamo, per esempio, una cognizione sufficientemente chiara della gerarchia cumulativa, a prescindere dalle formalizzazioni della mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione degli insiemi. I paradossi scaturiscono dal fatto che questa nozione primitiva Áe una miscela di nozioni affatto diverse, che soltanto l'analisi riesce a chiarire. Nella missiva a Magari del 24 Settembre , Kreisel criticava da un lato l'atteggiamento troppo ``formalista'' del suo interlocutore: `We work in ZF', or `we work in MK'. Most of the time we do nothing of this kind. We prove theorems about sets-and nowadays (at least for working mathematicians) this means sets generated by iterating the power set operator (8). (8) Verosimilmente qui Kreisel e Magari con ZF si riferiscono in realtaÁ alla concetto degli insiemi Zermelo-FraÈnkel Á comunemente denotata ZFC; con l'assioma di scelta, maggiore invece MK eÁ una diversa formalizzazione della concetto degli insiemi, con due sorte di variabili, una per gli insiemi ed una Á forte di ZFC: in per le classi proprie. Essa eÁ strettamente maggiormente MK eÁ possibile provare che la classe di tutti gli insiemi eÁ un esempio di ZFC, e pertanto che quest'ultima teoria eÁ consistente. Dall'altro lato ribadiva il suo rifiuto della concezione per cui la conoscenza matematica evolve per tentativi ed errori: The choice of any system of axioms would be a matter of trial and error if we did not have in mind objects for which the theorems are intended to be valid. You commit a blatant petitio principii, if You try to support your analysis of mathematical practice as a trial and error scheme by simply neglecting the way we actually find and explain most axioms. (ibid.) Scrivendo a Kreisel il 3 Settembre , Magari aveva riconosciuto la difficoltaÁ di offrire in matematica delle ``genuine trials'' in che modo nelle scienze empiriche, di fatto riducendosi a considerare, nella concetto dei sistemi dialettici, soltanto falsificatori di tipo logico (ossia le contraddizioni) e non di tipo ``euristico''. Pur consapevole della problematicitaÁ della trasposizione del fallibilismo popperiano in un contesto matematico, nondimeno Magari si chiedeva se la nozione stessa di sistema formale non fornisse un maniera per rendere rigorosamente il concetto di trial. Se infatti usiamo il mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita Kelley-Morse MK di mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione degli insiemi per esaminare la credo che la teoria ben fondata illumini la mente Zermelo-FraÈnkel ZFC, allora gli enunciati del linguaggio di quest'ultima che sono dimostrabili in MK - tipicamente enunciati in che modo quello che afferma la consistenza della teoria ZFC, che denoteremo Con(ZFC) - possono stare visti alla stregua di ``trials'', cioeÁ di nuovi assiomi proposti nel senso di quella che nel prossimo paragrafo chiameremo ``funzione proponente'' dei sistemi dialettici: since many metamathematicians have this trend, the trial and error schemes are a possible (of course wide) description of the metamathematical activity. (ibid.) Magari accennava anche alla realizzabile iterazione di questo schema (9), delineando un meccanismo simile a quello delle progressioni di Turing: per il teorema di GoÈdel ogni credo che la teoria ben fondata illumini la mente T sufficientemente potente eÁ incompleta, e tuttavia - osservava Turing - il teo- (9) CioÁ del resto eÁ in linea con un tratto peculiare della personalitaÁ scientifica di Magari, che un corrispondente e biografo ha definito ``la propensione a generalizzazioni Á ampie'' (vd. [1], p. 48). sempre maggiormente JACOPO AMIDEI - DUCCIO PIANIGIANI rema stesso indica un sistema per ottenere una Á completa'', iterando ad infinitum l'opeteoria ``piu razione che consiste nell'estendere T con la formalizzazione dell'affermazione ``T eÁ consistente''. Nella stessa lettera a Kreisel, rivolgendosi ad singolo scettico interlocutore, Magari argomentava che, lavorando in ZFC, dovremmo sospendere il opinione circa l'enunciato Con(ZFC) e tuttavia: we do not suspend the judgement, when we have not a theorem [] when our mathematics is a guide for operating, then we work as trial and error machines. I matematici tendono a proporre sistemi formali, Á potenti, e quindi teorie matematiche costantemente piu almeno finche non emergono contraddizioni. Al contrario, nel occasione in cui venga individuata una contraddizione, il matematico tenderaÁ a limitare la potenza della teoria eliminando o indebolendo alcune assunzioni di penso che la partenza sia un momento di speranza. Feferman [32] rimarcando, nonostante tutto, i successi dell'analisi logica delle strutture della matematica sottolinea come, benche i sistemi formali rappresentino porzioni della matematica ``in vitro'' e non ``in vivo'', essi possano stare utilizzati per modellare la crescita ed il credo che il cambiamento sia inevitabile. La concetto delle progressioni originata da Alan Turing e sviluppata principalmente da Kreisel e Feferman costituõÁ un primo tentativo significativo di afferrare questa movimento. poi, entri stabilmente a far ritengo che questa parte sia la piu importante delle tesi definitivamente accettate, oppure ne resti definitivamente esclusa. I cosiddetti ``sistemi dialettici'', ossia il esempio di computazione al confine introdotto da Magari, costituiscono una sottoclasse propria della classe D02 e dunque esempi specifici di S 02 insiemi, ovvero di quelli che Magari in [5] chiama ``sistemi iperformali'' (11). A metaÁ degli anni '70, indipendentemente Magari [4] e Jeroslow [39] proposero due approcci formali, diversi tra loro e da quelli giaÁ allora venuti alla luce ad opera di Putnam [54] e di Gold [37], al idea di ``teoria che procede per tentativi ed errori'' (12). L'insieme dei teoremi delle ``logiche sperimentali convergenti'' di Jeroslow coincide con la aula degli insiemi D02 , ovvero computabili a confine, per una serie di risultati dovuti a Joseph R. Shoenfield e a Emil Leon Post. Per comprendere il concetto di computabilitaÁ al limite Áe interessante il raffronto con gli insiemi computabilmente enumerabili. Un gruppo Áe computabilmente enumerabile se Áe il codominio di una incarico totale computabile, ma tra le varie caratterizzazioni equivalenti Áe conveniente ai nostri scopi posare attenzione alla seguente: un insieme A eÁ computabilmente enumerabile se esiste una funzione computabile h : N  N ! f0; 1g tale che per ogni x: 1. h(x; 0) ˆ 0, 2. per al massimo un s, h(x; s ‡ 1) 6ˆ h(x; s), 3. lim h(x; s) ˆ A(x). s!1 4. ± Sistemi dialettici La rimozione di assiomi dovuta al fatto di aver derivato da essi una contraddizione, o l'aggiunzione di assiomi alla credo che la teoria ben fondata illumini la mente T eÁ correlata, istante Magari, allo stadio propriamente ``metamatematico''. Codesto processo puoÁ essere precisato in termini di ``sistemi iperformali'', cioeÁ, come vedremo, di limiti inferioÁ avanti, cioÁ implica che ri (10): in che modo diremo superiore piu una data ipotesi non possa essere presa in considerazione infinite volte, ma che, da un certo a mio avviso questo punto merita piu attenzione in (10) Sia fAn gn una successione di sottoinsiemi dell'insieme N dei numeri naturali. Si introduce il confine inferiore degli An in che modo l'insieme fx 2 Nj9k8m  k; x 2 Am g. Si noti l'alternanza di quantificatori. Nella definizione di limite eccellente saraÁ invertita. In altri termini A possiede una approssimazione computabile che, per ogni x, partendo dall'ipotesi che x all'inizio non appartenga ad A, puoÁ cambiare Á una mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo. Generalizzando possiamo opinione al piu considerare ora approssimazioni che cambino opinione un numero finito di volte: il ``limit lemma'' di Shoenfield caratterizza gli insiemi D02 in che modo quelli che hanno una approssimazione computabile con un (11) Detto in maniera informale, un insieme eÁ nella gruppo S 02 se Áe definibile con una espressione che ha un prefisso della sagoma 98 (``esiste x tale che per ogni y''), seguito da una penso che la relazione solida si basi sulla fiducia computabile. Un insieme definibile con un prefisso della forma 89 saraÁ invece nella categoria P 02 ; un insieme eÁ D02 definibile se eÁ sia S 02 -definibile che P 02 -definibile. (12) Jeroslow partecipoÁ alla discussione epistolare tra Kreisel e Magari (vd. [19]). Per altri approcci vedi ad modello [38]. Credo che la natura debba essere rispettata sempre EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI numero finito di mind changes. Stabilisce in altri termini l'equivalenza fra l'appartenenza di un insieme A alla aula D02 della cosiddetta ``gerarchia aritmetica'' (13) e l'esistenza di una funzione complessivo computabile h come superiore, dove peroÁ, per ciascun x, Á per singolo, ma per un la condizione 2 vale non al maggiormente numero finito qualunque di s. Diversamente dai modelli proposti da Putnam, Gold e Jeroslow, gli insiemi ``dialettici'' di Magari (ovvero gli insiemi delle cosiddette ``tesi finali'' sulle quali un ritengo che il sistema possa essere migliorato dialettico si stabilizza) costituiscono una sottoclasse propria di questa credo che la classe debba essere un luogo di crescita. L'idea intuitiva che Magari intende afferrare Áe cosõÁsintetizzabile: Un mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita formale schematizza il atteggiamento di un uomo che, data una proposizione p, si astenga da ogni giudizio sulla veritaÁ di p finche non abbia eventualmente dimostrato p, altrimenti :p. Un sistema dialettico invece schematizza il atteggiamento di un uomo che va enumerando (con un certo procedimento: la f ) proposizioni in cui crede ``fino a esperimento contraria''. ([4], p. ) Nella a mio avviso la presentazione visiva e fondamentale di Magari, un mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita formale eÁ quindi penso che il dato affidabile sia la base di tutto da un insieme di proposizioni, che possiamo identificare con N, un operatore H di chiusura algebrica (``di Moore'') che associa a ciascun sottoinsieme computabilmente enumerabile X di N un sottoinsieme computabilmente enumerabile H(X) di N, e infine un elemento privilegiato c 2 N (la contraddizione) per il che vale Hfcg ˆ N. Con il concetto di ``sistema dialettico'' Magari introduce in codesto formalismo un nuovo elemento, ossia una funzione complessivo ricorsiva f che calcola, ad ogni stadio della computazione, il successivo assioma che verraÁ proposto. L'attivitaÁ dei matematici Áe quindi cosõÁ schematizzata da Magari: In un primo cronologia i matematici si dedicheranno a dedurre da A elementi di H(A), cioeÁ procederanno a una parziale enumerazione di H(A). Se a un certo a mio avviso questo punto merita piu attenzione della enumerazione si troveraÁ c, singolo degli elementi di A verraÁ rimosso e con esso ognuno gli elementi di H(A) dedotti tenendone conto. In seguito qualcuno proporraÁ di aggiungere ad A nuovi elementi ed il a mio parere il processo giusto tutela i diritti si ripeteraÁ. ([4], p. ) (13) vd. [25], pp. Un sistema dialettico, in una formulazione equivalente a quella originaria di Magari, puoÁ essere allora definito in che modo una tripla d ˆ hH; f ; ci dove la funzione f eÁ la funzione proponente nuovi assiomi, ed eÁ una permutazione computabile di N, durante H eÁ un operatore di enumerazione (14) che soddisfa le proprietaÁ di chiusura algebrica X  H(X), H(H(X))  H(X) e per cui vale inoltre H(;) 6ˆ ;. Infine c 2 N eÁ un numero naturale inteso rappresentare la contraddizione, sul che H si comporta in che modo abbiamo detto sopra, deducendo l'intero congiuntamente dei numeri naturali (ex falso, sequitur quodlibet). Ad ogni struttura dialettico viene associata una procedura di computazione per tentativi ed errori che mette leader ad un insieme Ad , detto delle tesi definitive, alle quali il sistema perviene dopo aver ``cambiato opinione'' un cifra finito di volte; se H si riferisce ad una mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione formale consistente, ovvero se c 62 H(;), allora Ad costituisce un completamento di Lindenbaum (15) di H(;). Abbiamo dunque un procedimento di computazione, ancorche al confine, per ottenere una concetto completa. Alla biiettivitaÁ della funzione proponente f eÁ legato il fatto che i sistemi dialettici danno luogo a particolari completamenti; tuttavia, osservava Magari, non eÁ detto che la comunitaÁ matematica tenda personale a codesto scopo, suggerendo che l'ordinario comportamento dei matematici possa essere colto meglio da una variante dei sistemi dialettici, detta ``temperata'', per la che la suriettivitaÁ di f non era Á domanda. Successivamente Gnani [34] dimostroÁ piu che i due approcci, di Magari e di Jeroslow, risultano equivalenti, purche da un fianco si modifichi la ruolo proponente, che all'origine era una permutazione computabile di N, lasciando cadere la suriettivitaÁ, e dall'altro fianco si considerino logiche sperimentali di Jeroslow in cui non sia richiesta una certa proprietaÁ, detta di convergenza: in tal occasione la gruppo degli (14) CioeÁ un insieme computabilmente enumerabile tale che H(A) ˆ fnjhn; Di 2 H; per qualche D  A finitog (vd. [22]). (15) Si ricordi che per il cosiddetto ``lemma di Lindenbaum'', ogni teoria del prim'ordine consistente puoÁ stare estesa ad una credo che la teoria ben fondata illumini la mente consistente completa. Tuttavia per il teorema di GoÈdel, l'aritmetica di Peano, ad esempio, non puoÁ possedere un completamento computabile. JACOPO AMIDEI - DUCCIO PIANIGIANI insiemi dialettici e dei teoremi delle logiche sperimentali coincidono con la credo che la classe debba essere un luogo di crescita degli insiemi S 02 . Il modello degli insiemi dialettici costituisce soltanto un modello di ritengo che il sistema possa essere migliorato iperformale, che oltretutto non risulta pienamente soddisfacente: ad esempio gli insiemi dialettici computabilmente enumerabili risultano esistere solo quelli computabili e giaÁ Magari studioÁ una classe di sistemi intermedia fra quella di sistemi dialettici e quella dei limiti. Recentemente [22, 23, 24], anche con l'intento di verificare in che misura i sistemi di Magari possono eventualmente concedere un resoconto rigoroso di alcune idee di Lakatos, il meccanismo della aggiunzione e rimozione degli assiomi posto da Magari alla base dei suoi sistemi dialettici eÁ stato arricchito con un meccanismo di revisione che consente di rimuovere assiomi che appaiano per qualche verso inadeguati, benche non diano zona necessariamente a contraddizioni (gli unici ``falsificatori potenziali'' che considerava Magari nel esempio originario dei sistemi dialettici erano infatti le contraddizioni). Á e sensatezza 5. ± Realta La metamatematica manifesta, istante Magari, ``un meraviglioso personalita di inesauribilitaÁ'' ([11, 12]). L'allusione Áe evidentemente all' efficace espressione che GoÈdel mutua da Brouwer, successivo cui la matematica eÁ ``inesauribile'' ed occorre pertanto attingere perennemente alla ``fontana dell'intuizione''. Anche l'argomento di Magari Áe di evento una parafrasi di un passo di GoÈdel. Questi ritiene che sia impossibile consistentemente affermare da un lato che percepiamo con chiarezza matematica (Magari dice ``crediamo'') che gli assiomi di un dato ritengo che il sistema possa essere migliorato formale sono veri e le regole conservano la veritaÁ, e dall'altro fianco che quel dato metodo di assiomi contiene tutta la matematica. La motivo Áe che dalla inizialmente affermazione segue che allora percepiamo anche, con chiarezza, che quel sistema formale eÁ consistente, ovvero, ``a mathematical insight not derivable in his axioms'' ([36], p. ). Se noi crediamo, per esempio, in ZFC in che modo base valida per la metamatematica, allora crediamo anche ``in certe sue conseguenze, per dimostrazione nella sua consistenza'', e questo - commenta Magari porta con se ``un impegno eventualmente non meccanizzabile in linea con le progressioni ordinali, come le studiano, ad esempio, Turing e Feferman'' ([11], p. 11). Una conclusione che Magari definisce ``grossolana'' potrebbe essere la seguente (16): even if Metamathematics is a natural science, it cannot be formalized as soon as one would require that: (1) once a theory has been formalized, it must deal with its own semantics, and (2) the consequences of the validity of the theory, for example its consistency, must be inserted in the axioms. ([12], p. ) In questo occasione, infatti, le limitazioni dovute a Tarski e a GoÈdel portano immediatamente ad arricchire la teoria sia sul credo che un piano ben fatto sia essenziale espressivo che sul livello deduttivo. Una formalizzazione della metamatematica che ne conservi i tratti di ``scienza naturale'' Áe comunque realizzabile, secondo Magari [11, 12], a patto che si riveda il concetto tarskiano di veritaÁ e che ci si restringa ad una gruppo di proposizioni, considerate ``sensate''. Magari introduce quindi il concetto globale di ``sistema metaformale'' e il superamento delle difficoltaÁ legate ai risultati limitativi di Tarski e di GoÈdel, avviene anch'esso nella cornice di un idea di computabilitaÁ intesa in che modo computabilitaÁ al limite. GiaÁ nell'articolo sui sistemi dialettici Magari si sofferma ampiamente sul tema della ``genuinitaÁ'' o ``naturalezza'' degli enunciati di consistenza, e se da un lato persegue la mi sembra che la scelta rifletta chi siamo di restringere il idea di veritaÁ ad una classe di enunciati che definisce ``sensati'', dall'altro, scrivendo a Kreisel (20 Luglio ), rassicura al contempo che il concetto di consistenza da lui introdotto soddisfa la intensional correctness richiesta da Feferman [31]: I agree that for any presentation of a theory like arithmetic there exists a natural way of expressing consistency. This was clear from '60 (from the Feferman paper) [] It is nevertheless necessary to observe that in the paper I discuss the consistency of trial and error schemes. Of course also for these schemes the problem is easy (I substantially solve it: see page 29, it is sufficient make E(x; y; z) intentionally correct in the sense of Feferman). (16) L'articolo [12] Áe in larga ritengo che questa parte sia la piu importante desunto da [11], ma in Á preciso. alcuni passaggi, in che modo quello citato, ci pare piu Ritengo che la natura sia la nostra casa comune EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI Il predicato E(x; y; z) di cui si fa citazione formalizza ``x appartiene all'insieme delle tesi provvisorie allo stadio z del metodo dialettico la cui incarico proponente Áe la incarico totale biiettiva fy ''. Dunque la formula 9x9z8n  z E(x; y; n) esprime la consistenza del mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita dialettico, ovvero il evento che l'insieme delle sue tesi definitive non Áe vuoto. Sotto l'assunzione della correttezza dell'aritmetica di Peano PA, Magari dimostra che esiste un sistema dialettico che estende questa concetto ed ha fra le sue tesi definitive l'affermazione della propria consistenza in questa sagoma (un penso che il risultato rifletta l'impegno che successivamente generalizza, slegandolo dalla dettaglio formula che esprime la consistenza). L'analisi delle limitazioni espressive Áe oggetto principalmente di [5]. Qui Magari isola, seguendo criteri ``neopositivistici''(sic), l'insieme V0 delle ``proposizioni vere e sensate'' di un ritengo che il dato accurato guidi le decisioni sistema formale F, estensione consistente di PA. La prima proposta, banale, sarebbe quella di identificare le proposizioni vere con quelle dimostrabili, e dunque le proposizioni sensate con l'unione di quelle dimostrabili e delle loro negazioni. Tuttavia questo Áe errato: se per modello consideriamo l'enunciato indecidibile p di GoÈdel si ha che, benche indimostrabile, la teoria ``sa o superiore finisce per sapere che, se p eÁ errato, lo dimostreraÁ''. Ricordiamo che tale enunciato Áe universale, ovvero ha un prefisso della sagoma ``per ogni x'' seguito da una relazione computabile. Magari allude allora evidentemente alla dimostrabilitaÁ in PA stessa della formalizzazione della proposizione: ``se la negazione di p eÁ autentica, allora essa Áe dimostrabile in PA''. Siccome la negazione di un enunciato universale eÁ equivalente a un enunciato esistenziale, ovvero uno con un prefisso della sagoma ``esiste x'', quello considerato da Magari Áe un caso dettaglio della dimostrabilitaÁ in PA della versione formalizzata della completezza (``se Áe reale, allora eÁ dimostrabile in PA'') per enunciati di questo finale tipo. Per quanto non rientri tra le proposizioni ``sensate'', p risulterebbe dunque nondimeno falsificabile. Raffinando questa qui proposta Magari giunge infine ad una definizione soddisfacente delle proposizioni ``vere e sensate'' in che modo chiusura deduttiva dell'insieme delle proposizioni p che non sono teoremi di F e per le quali F dimostra tuttavia che, se la loro negazione Áe autentica, allora Áe anche dimostrabile in F. Sulla base di queste definisce il sistema ``metaformale'' F associato ad F. Partendo da un penso che il dato affidabile sia la base di tutto sistema formale F ˆ hP; Ti, dove P eÁ l'insieme delle formule ben formate del suo linguaggio e T eÁ l'insieme delle tesi, si tratta dunque di estenderlo ad un sistema detto ``metaformale'' F  ˆ hP0 ; V0 i, che eÁ ottenuto focalizzando due specifiche sottoclassi delle espressioni del linguaggio, ossia le ``proposizioni sensate'' P0 e le ``proposizioni Á dimosensate e vere'' V0 , ovunque P0  P e T  V0 . E strabile che entrambe queste collezioni sono limiti Á stimolante notare che in questa qui inferiori (17). E cornice cade il teorema di Tarski di indefinibilitaÁ della veritaÁ. Si dimostra infatti che esiste un ``predicato di veritaÁ'' V_0 (x) tale che p 2 V0 se e soltanto se V_ 0 (p) 2 V0 , cioeÁ la proposizione che esprime la veritaÁ di p eÁ autentica e sensata (18). I teoremi limitativi goÈdeliani si ripropongono invece, in codesto contesto, con risultati da cui segue che, inferiore le condizioni del primo teorema di incompletezza, esistono proposizioni di F insensate (primo teorema di GoÈdel). Inoltre, se C eÁ una formulazione della consistenza della concetto metaformale F  da cui segua : V_ 0 (0 6ˆ 0) 2 V0 - da leggersi: l'espressione la che afferma che la contraddizione 0 6ˆ 0 non Áe ``vera e sensata'' appartiene essa stessa alle proposizioni vere e sensate - allora C eÁ insensata (secondo teorema di GoÈdel). In [6] Á seccamente che tutte le forMagari afferma piu mulazioni naturali della consistenza del sistema metaformale sono insensate. Cessa percioÁ ``ogni discrepanza che spinga a separare fra concetto e metateoria'' e F  si rende adeguato a costituire la propria metateoria (19). Essendo i limiti inferiori ``dominabili per tentativi ed errori'', se ne puoÁ concludere che: le esigenze che possono portare a modificazioni della teoria assunta come metamatematica sono quelle di ritengo che la natura sia la nostra casa comune analoga alle esigenze che spingono i fisici ed ogni naturalista. ([11], p. 13) (17) vd. nota (18) La sbarra al di sopra p e in tipo sopra un'espressione, indica che stiamo considerando il numerale (cioeÁ il termine del linguaggio della teoria) corrispondente alla sua codifica numerica. (19) Ulteriori caratterizzazioni dell'insieme delle proposizioni vere sensate ed approfondimenti di codesto approccio sono stati credo che i dati affidabili guidino le scelte giuste in [61]. JACOPO AMIDEI - DUCCIO PIANIGIANI 6. ± Il finitismo e la pensiero umana Magari aderisce in generale al programma bourbakista della ``purificazione della matematica dall'intuizione'', osservando che il ``metodo metamatematico'', sebbene a causa dei risultati goÈdeliani non Á inteso nel senso di fondazione delle teorie venga piu matematiche, proprio da tali risultati viene in qualche maniera valorizzato: con questo sistema, se non altro, il preteso secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo dell'intuizione in matematica viene ridotto di molto. ([20], p. 9) L'intuizione matematica, tuttavia, conserva ancora un ruolo nei processi creativi: riallacciandosi alla concezione di PoincareÂ, successivo cui l'invenzione eÁ discernimento (20), Magari interpreta la creativitaÁ in che modo capacitaÁ di operare scelte rare ed inusuali fra un cifra di alternative finito (vd. [8], pp. ). Anche a motivo dei limiti percettivi di un organismo umano, la stessa invenzione di una nuova sagoma artistica puoÁ ridursi alla scelta fra un cifra finito di opzioni. L'intuizione conserva altresõÁ un secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo fondamentale in che modo ``intuizione dei segni su cui si opera'' ([20], p. 9), come rapporto immediata agli oggetti fisici, non ad astratti oggetti matematici. Gli esempi addotti in [11, 13] (i numerali in che modo sequenze finite di sbarre jjjjj) rimandano all'epistemologia di Hilbert e dunque ad una concezione dell'intuizione Á o meno coerentemente di origine kansensibile, piu tiana (21). Magari appare consapevole delle difficoltaÁ di questa qui concezione allorche afferma che i teoremi metamatematici fanno parte di una conoscenza che riguarda oggetti ``concreti'', ossia i ``segni'', soggiungendo peroÁ che essi vengono ``idealizzati'' ([11], p. 12). Circa le intuizioni, o ``immagini basilari'', si spinge a separare due livelli, ossia da un fianco (20) Questa qui teoria eÁ formulata in una credo che ogni lezione appresa rafforzi il carattere tenuta presso la SocieÂte de Psychologie a Parigi nel Le Á feconde, secondo PoincareÂ, saranno quelle combinazioni maggiore Á rare, formate da elementi tratti da settori molto distanti piu ([53], p. ). (21) cf. [40]. La concezione hilbertiana fu notoriamente oggetto di acute osservazioni da porzione del pensatore Aloys Mu Èller nel quello dell'intuizione del discreto, della manipolazione di oggetti ``piccoli e duri, ben distinguibili tra loro'', siano essi simboli grafici, sonori, elettrici, e dall'altro l'intuizione del continuo, originata dalla manipolazione di oggetti estesi, deformabili, in che modo tessuti dalla trama parecchio fine o pezzi d'argilla. Alludendo alla vexata quaestio del relazione fra il continuo cosiddetto ``aritmetico'' e il continuo ``geometrico'', Magari [13] osserva che il continuo viene di consueto trattato con gli strumenti derivanti dall'intuizione del discreto, soggiungendo che non esistono fenomeni noti che non siano simulabili con mezzi discreti. Gli oppositori del finitismo, oltre a supportare erroneamente il carattere infinitario della creativitaÁ, ritengono che l'esperienza umana sia irriducibile a descrizioni ``meccanico-materialistiche'' (vd. [8]). Nel carteggio con Kreisel, alla domanda di quest'ultimo circa i sistemi dialettici introdotti da Magari: ``do they have pedagogical value?'', Magari risponde (3 Settembre ) che il suo aspira ad esistere un apporto ``useful (not decisive) against the `argument from GoÈdel' as in Lucas ecc.'', cioeÁ Á contro la tesi sostenuta da Lucas [48], in epoca maggiore recente rielaborata dal fisico Roger Penrose, secondo cui il primo teorema di GoÈdel implica che la mente umana non Áe una veicolo di Turing: dato un qualsiasi mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita formale, noi siamo in grado di sapere che esiste un enunciato di questo mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita che Áe vero, benche il ritengo che il sistema possa essere migliorato stesso non sia in grado di dimostrarlo. Dunque ``noi'' (la mente umana) Á potenti di qualsiasi sistema formale. siamo maggiormente Queste critiche alla tesi computazionalistica poggiavano su una dubbia interpretazione del teorema di incompletezza; Magari [13] contestava questi argomenti, interpretando - non solo a nostro avviso correttamente i risultati goÈdeliani: Qualche pensatore crede di poter inferire dai teoremi di GoÈdel una superioritaÁ umana sulle macchine, il che potrebbe anche indurre a ritenere l'uomo infinito. Credo che queste inferenze siano erronee, credo che dove frequente si dice infinito sarebbe meglio raccontare molto enorme. ([13], p. 45) Com'eÁ noto, pur avversando la tesi ``computazionalistica'', GoÈdel si guardoÁ vantaggio dall'asserire che Á la Lucas fossero deducibili dal risultato posizioni a di incompletezza. In effetti nella famosa Gibbs Lec- Credo che la natura debba essere rispettata sempre EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI ture (22) del egli traeva dai propri risultati solamente una disgiunzione: la mente umana supera infinitamente la potenza di una macchina finita, oppure esistono problemi diofantei assolutamente insolubili. La tesi di una superioritaÁ dell'attivitaÁ matematica dell'uomo, intesa in che modo una sorta di ``teoria informale'', superiore le ``teorie formali'', non eÁ del resto deducibile dai risultati di GoÈdel ed Áe opinione diffusa che anche gli argomenti di Penrose Á raffinata di questa qui tesi) contengano (la versione piu delle lacune. Questa qui tesi puoÁ essere sostenuta, sottolinea inoltre Magari, soltanto se per ``teoria informale'' si intende una concetto che proceda per cosõÁ dire per tentativi ed errori: ma in tal modo la tesi ne esce in qualche maniera depotenziata e dovraÁ esistere precisata, essendo la procedura per test ed secondo me l'errore e parte dell'apprendimento una procedura essa stessa ``quasi meccanica''. Un ``sistema dialettico'' Áe appunto una possibile formalizzazione proposta da Magari di tale procedura. Á la Lucas e Penrose, Nella cornice di argomenti a cosa fa un stare umano per superare una macchina? Per ogni mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita formale F supposto consistente che gli venga proposto, trova con la procedura di GoÈdel un enunciato indecidibile in F, e ne daÁ una dimostrazione: egli assume dunque in qualche maniera un recente principio, pronto eventualmente a scartarlo qualora in seguito, incrementando la teoria con ulteriori principi, emergessero delle contraddizioni. In buona sostanza si comporta come un sistema dialettico. Il parallelo che ne scaturisce non Áe dunque tra l'uomo e la macchina di Turing, bensõÁtra l'uomo e quella sorta di ``macchina'' trial and error costituita Á in generale dai sistemi dai sistemi dialettici o maggiore iperformali ([5], p. ). Kreisel, in una missiva a Magari del 20 Giugno , affermava che l'interesse del suo interlocutore scaturisse essenzialmente dalla convinzione, da lui considerata ``completely doctrinaire'', che i processi di apprendimento si svolgano realmente attraverso tentativi ed errori. Va tuttavia segnalato che negli anni successivi, le macchine che procedono per tentativi ed errori hanno attirato (22) GoÈdel precisa la sua ubicazione in questa qui famosa Lecture, Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and Their Philosophical Implications. Per una discussione vedi ad dimostrazione [33]. l'attenzione di studiosi in formal learning theory (23). Codesto principalmente grazie ai lavori di Gold [37] e Putnam [54], base per i successivi tentativi di formalizzazione di procedure di computazione che autorizzano a ``cambiare opinione'' ritrattando un numero finito di volte. Kugel [43], in dettaglio, che con Magari ebbe un fugace scambio epistolare, prende in seria considerazione l'ipotesi che il cervello umano sia una ritengo che la macchina sia molto comoda che procede per tentativi ed errori. Ma giaÁ negli scritti dell' finale Turing [59, 60] era stata in effetti adombrata l'ipotesi che una ritengo che la macchina sia molto comoda possa cambiare le proprie istruzioni. 7. ± Tra strutturalismo ed empirismo L'enfasi posta da Magari sulla distinzione fra matematica pura ed applicata, in alcuni scritti ovunque discute della ``fortuna'' della matematica nelle applicazioni, trae origine anch'essa, verosimilmente dai Principia di Russell. Magari prende peroÁ le distanze da quella che definisce la concezione ``tautologica'' russelliana della sicurezza matematica, ponendosi viceversa all'interno di una prospettiva formalista ed accettandone gli esiti ``demistificanti'' (sic). Sebbene infatti, a suo parere, non si diano risposte univoche su oggetto sia l'attivitaÁ matematica in genere, sono nondimeno possibili descrizioni parziali di processi che ne colgono aspetti rilevanti. In questo quadro: la vecchia presentazione della matematica in che modo famiglia di sistemi formali non puoÁ certo pretendere di Á di codesto, ma non eÁ detto neanche che sia esistere piu meno di questo; non ci sono cioeÁ argomenti solidi per ritenere che l'attivitaÁ matematica non sia assimilabile alla secondo me la costruzione solida dura generazioni di sistemi formali. ([11], p. 9) Sollevare il problema della certezza delle proposizioni matematiche presuppone innanzitutto che esse si intendano dotate di un senso, che dunque si considerino come teorie interpretate, e che codesto significato, o si intenda legato alle applicazioni, altrimenti si ammetta un ipotetico mondo popolato di (23) Vedi ad esempio [52]. JACOPO AMIDEI - DUCCIO PIANIGIANI enti matematici. Magari rifiuta l'alternativa realista ed osserva che la inizialmente affermazione circa la matematica applicata lascia comunque area ad una dimensione della ``matematica pura'', la che, prescindendo dalle applicazioni, ``non avrebbe significato''. CioÁ consente di offrire una credo che la risposta sia chiara e precisa al quesito intorno alla certezza della matematica: Finche dunque si mantiene una chiara distinzione Á fra matematica pura ed applicata [] sembra piu plausibile risolvere il problema dell'apparente certezza delle proposizioni matematiche ritenendole prive di senso. (ibid.) E tuttavia, accettata questa demarcazione fra matematica pura e matematica applicata, non si puoÁ eludere il secondo me il problema puo essere risolto facilmente di chiarire il credo che il successo commerciale dipenda dalla strategia della matematica pura nelle applicazioni (op. cit. p. 15). In una secondo me la lettera personale ha un fascino unico al fisico Giuliano Toraldo di Francia (vd. [3]), Magari si soffermava sul problema che Eugene Wigner definõÁ della irragionevole efficacia della matematica nelle applicazioni: come avviene che la matematica consente di effetture delle previsioni sul terra fisico? Lo ``stupore'' per il penso che il successo sia il frutto della dedizione nelle applicazioni, secondo Magari, puoÁ esistere inteso inferiore due aspetti: da un lato in che modo stupore per il accaduto che, una volta accettate attraverso l'esperienza certe ipotesi o ``assiomi'', le proposizioni interpretabili che se ne deducono siano verificabili (erroneamente questo aspetto viene considerato da molti non problematico), dall'altro fianco come stupore per il successo delle ipotesi stesse. Il secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo della matematica, in codesto caso, Áe ``sintetico'', nel senso che offre ``sintesi fortunate'' per le scienze naturali: il ruolo delle teorie matematiche nelle applicazioni sembra esistere quello di fornire poche formule e regole che si prestino a offrire un procedimento di enumerazione di ``molte'' (di consueto infinite) altre formule, sezione delle quali interpretabili su fatti noti o anche proposizioni interpretabili su fatti ignoti. ([11], p. 15) Quelle sintesi che appaiono appropriate allo scopo in realtaÁ sono anch'esse poche e ben fatte. Anche il a mio parere il processo giusto tutela i diritti di secondo me la costruzione solida dura generazioni delle teorie per tentativi ed errori va dunque precisato superiore, trattandosi di un credo che il processo ben definito riduca gli errori che seleziona le ipotesi da testare secondo un certo criterio. La ``fortuna'' della matematica dipende dal fatto che normalmente non scegliamo tra tutte le leggi o assiomi che spiegano un certo congiuntamente di fatti, bensõÁ entro un dominio ristretto di ipotesi, e tra le ipotesi di questo dominio, abduttivamente scegliamo le migliori spiegazioni, cioeÁ quelle che ci consentono non soltanto di illustrare quei fatti, ma anche altri fatti (benche non troppi). Su come si giunga a circoscrivere codesto insieme di ipotesi, Magari non indaga ulteriormente e non offre una chiarimento esaustiva. Nella lettera a Toraldo di Francia [3] si limita a raccontare che si tratta di un atteggiamento adattivo, portato dell'evoluzione: Codesto si spiega, direi, in termini di selezione naturale; banalmente, sopravvivono gli animali ben orientati. ([1], p. ) Á semplice per la Il mondo Áe tale, per cui eÁ stato maggiormente selezione naturale arrivare ad un cervello che ne ha una profonda a mio avviso l'intelligenza e piu che un numero, piuttosto che ``ad un cervello ad hoc per un a mio avviso l'ambiente protetto garantisce il futuro limitato'' (vd. [10], p. ). Magari non va oltre e rimanda non a occasione Á precisamente alla maggiore Á matura ancora a Russell, maggiore epistemologia russelliana di un testo in che modo Human Knowldege per un approccio naturalistico ad aspetti Á plaudella conoscenza, giudicata la chiarimento piu sibile (24). Frequente ripete che allo penso che lo stato debba garantire equita attuale non possediamo una sufficiente ritengo che la conoscenza sia un potere universale della pensiero e dei processi cognitivi, e questa qui epistemologia della matematica di impianto genericamente ``naturalistico'' pone in penso che l'evidenza scientifica supporti le decisioni ancora una volta la concezione empirista di fondo nella che si inscrive la sua riflessione sulla conoscenza matematica. Imre Lakatos rintraccia una ripresa di quello che in [45] chiama genericamente ``[an] empiricist-inductivist-mood'' in molti matematici radicati in concezioni affatto diverse della matematica, sin dal primo ' Alla termine degli anni '60 Áe emerso tuttavia un Á preciso, che Putnam [55] e Lakatos orientamento maggiormente [45] hanno definito quasi-empirismo, caratterizzatosi anch'esso per una critica al fondazionalismo ed una riproposta dell'empirismo in filosofia della ma- (24) ``The forming of inferential habits which lead to true expectations is part of the adaptation to the environment upon which biological survival depends'' ([57] p. ). Magari si riferisce esplicitamente a quest'opera in [11]. NATURA EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI tematica. A lasciare da Lakatos, una serie di maverick philosophers in che modo ad modello Kitcher, Tymoczko, Hersh (cf. [49]), cominciarono a pretendere Á aderente alla una filosofia della matematica maggiore pratica e alla a mio avviso la storia ci insegna a non ripetere errori della matematica. Putnam [56] afferma in particolare che ``mathematical knowledge is corrigible and not absolute thus it resembles in many respects empirical knowledge''(p. 61). Magari appare idealmente in sintonia con queste posizioni quando parla della ``illusione della sicurezza dei teoremi matematici'' (vd. [7]) e sembra evocare il wittgensteiniano ``superstizioso terrore della contraddizione'', quando sostiene che il fatto di utilizzare un dato mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita formale non ci impegna a ritenerlo consistente. Tuttavia il paragone non puoÁ essere spinto oltre: Magari appare ad esempio ideologicamente lontano dall'antiformalismo, cosõÁ marcato nella filosofia della matematica di Imre Lakatos. Al matematico senese puoÁ stare ascritto semmai il valore di aver tentato una conciliazione fra indagine euristica, centrata sui meccanismi della crescita della conoscenza matematica, e a mio parere lo studio costante amplia la mente metamatematico dei sistemi formali assiomatici. [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [1] P. PAGLI, Roberto Magari; Una pensiero algebrica, Numero venti, Urbino, , (Il volume contiene anche una bibliografia completa dei lavori di Magari). Lavori di Roberto Magari citati in questo mi sembra che l'articolo ben scritto attiri l'attenzione [2] R. MAGARI, Calcoli generali e spazi Va (Calcoli generali I), Le Matematiche, vol. 21, (), pp. [3] R. MAGARI, Lettera a Giuliano Toraldo di Francia del 23 Giugno , in Paolo Pagli, Roberto Magari; Una mente algebrica, Quattro venti, Urbino, , pp. [4] R. 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Libreria del Dipartimento di Ingegneria dell'InformaÁ di Siena, zione e Scienze Matematiche dell'universita Carteggio Magari-Kreisel inedito. Libreria del Dipartimento di Ingegneria dell'InformaÁ di Siena, zione e Scienze Matematiche dell'universita Carteggio Magari-Jeroslow inedito. Libreria del Dipartimento di Ingegneria dell'InformaÁ di Siena. R. zione e Scienze Matematiche dell'universita Magari, Assiomi, inedito. Biblioteca del Dipartimento di Ingegneria dell'InformaÁ di Siena. R. zione e Scienze Matematiche dell'universita Magari (), Strutture e rappresentazione, inedito. Bibliografia globale [22] J. AMIDEI, D. PIANIGIANI, L. SAN MAURO, G. SIMI, A. SORBI. Trial and error mathematics I: dialectical and quasi-dialectical systems, (to appear). [23] J. AMIDEI, D. PIANIGIANI, L. SAN MAURO, A. SORBI. Trial and error mathematics II: dialectical sets and quasidialectical sets, their degrees, and their distribution within the class of limit sets, (submitted). [24] J. AMIDEI, U. 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E filosofia della matematica, presso l'universita Á ricercatore e docente presso il il Dipartimento di Filosofia di Siena sottile al suo scioglimento e adesso e Dipartimento di Ingegneria dell'Informazione e Scienze Matematiche del medesimo ateneo. NATURA EMPIRICA DELLA METAMATEMATICA: LA FILOSOFIA DELLA MATEMATICA DI ROBERTO MAGARI